Анотація до роботи:

МАСАЛЬЦЕВ Л.О. Геометрія багатовимірних підмноговидів

однорідних ріманових просторів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 2006.

Дисертацію присвячено дослідженню геометрії підмноговидів однорідних ріманових просторів. Розв'язано проблему ізометричного занурення тривимірних геометрій , , в чотиривимірний простір сталої кривини . Доведена неможливість ізометричного занурення деякіх нілмноговидів в евклідів простір у вигляді гіперповерхні. Знайдено представлення поверхонь Іоахимсталя в сфері і просторі Лобачевського , а також одержано узагальнення теореми H.Wente про поверхні сталої середньої кривини з однією сім'єю плоских ліній кривини. Отримані аналоги теореми E.Ruh-J.Vilms'a про гармонійність гаусова відображення в просторах і . Для профільних кривих катеноідів обертання в і з'ясовано спосіб їх побудови, аналогічний класичній властивості генератриси катеноідів в евклідовому просторі . Знайдено всi повні мінімальні лінійчаті поверхні в геометріях i . Знайдено і досліджено на стабільність деякі мінімальні лінійчаті поверхні в геометріях i . Повністю описані мінімальні поверхні в евклідовому просторі з гаусовим образом сталої кривини. Знайдено зв'язок між багатовимірним перетворенням Біанкі (в сенсі Ю.А.Амінова) і теорією псевдосферичних лінійних конгруенцій в евклідовому просторі ( в сенсі K.Tenenblat i C.L.Terng). З'ясовано умови існування бідотичного багатовимірного перетворення Біанкі (у розумінні Ю.А.Амінова i A.Sym'a) в евклідовому просторі .

У дисертації розвинуто теорію підмноговидів однорідних ріманових просторів, одержані результати доповнюють вже відомі в теорії ізометричних занурень, гаусова образу і мінімальних підмноговидів. Проведені дослідження дозволяють сформулювати такі висновки.

1. Доведена неможливість ізометричного занурення площини Лобачевського в евклідів простір у вигляді гелікоідальної поверхні, а також простору Лобачевського в евклідів простір у вигляді мінімального підмноговиду з плоскою нормальною зв'язнsстю.

2. Доведена неможливість ізометричного занурення деяких три- і чотиривимірних однорідних геометрій в евклідoвi простори у вигляді гіперповерхонь.

3. Повністю вирішена задача ізометричного занурення тривимірних геометрій , , в чотирівимірний простір сталої кривини.

4. Одержані представлення поверхонь Іоахимсталя в і , а також узагальнення теореми H.Wente для поверхонь сталої середньої кривини з сім'єю плоских ліній кривини.

5. Отримані аналоги теореми Е.Ruh-J.Vilms'a для гармонійних гаусових відображень в і .

6. Доведена версія теореми J.Weiner'а про дотичну індикатрису замкненої сферичної кривої в і .

7. Одержано узагальнення класичної теореми Ш.Делоне для мінімальних поверхонь обертання в і .

8. Знайдено мінімальні лінійчаті поверхні в тривимірних геометріях , , , .

9. Повністю описані мінімальні поверхні в з гаусовим образом сталої кривини.

10. Встановлено зв'язок між багатовимірним перетворенням Беклунда (в розумінні Tenenblat-Terng) і багатовимірним перетворенням Біанкі (в розумінні Ю.А.Амінова).

11. Отримані умови існування бідотичного перетворення Біанкі псевдосферичних підмноговидів в евклідовому просторі .

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використані в теорії ізометричних занурень ріманових многовидів, гармонійних відображень ріманових просторів і мінімальних підмноговидів. Результати, що наведені в дисертації, були використані в роботах Ю.А.Амінова,О.А.Борисенка, А.Т.Фоменка і Дао Чонг Тхі, В.Т.Фоменка, В.О.Горькавого, В.Т.Лисиці, А.Sym'a, M.Fujiki, М.Sakaki та інших вчених.

Публікації автора:

1. Масальцев Л.А. О геликоидальных поверхностях в евклидовом пространстве // Укр. геометр. сборник, вып.26,- Харьков: Изд. ХГУ, 1983- C.100-103.

2. Масальцев Л.А. Минимальные поверхности в , гауссов образ которых имеет постоянную кривизну // Мат. заметки. -1984. T.35, № 6, -C.927-932.

3. Масальцев Л.А. О двумерных поверхностях с нулевым нормальным кручением в // Укр. геометр. сборник, вып.27, -Харьков: Изд. ХГУ, 1984. -C.88-91.

4. Масальцев Л.А. Псевдосферические конгруенции Бианки в // Мат. физика, анализ, геом. -1994.- T.1, № 3/4. -C.505-512.

5. Масальцев Л.А. Преобразование Бианки-Ли-Беклунда в пространствах постоянной кривизны // Мат. физика, анализ, геом. -1997. -T.4, №1/2. -C.133-144.

6. Калынюк Е.Г., Масальцев Л.А. Генератриса катеноида вращения гиперболического пространства // Доповіді НАН України. -1998.-№ 7. -C.23-26.

7. Масальцев Л.А. О минимальных подмногообразиях постоянной

кривизны в евклидовом пространстве // Известия вузов,Математика. -1998. -№ 9. -C.64-65.

8. Masaltsev L.A. Generatrix of catenoid of space 3-form // Мат. физика, анализ, геом. -1999. -T.6, № 1/2. -C.81-99.

9. Масальцев Л.А. Поверхности Иоахимсталя в // Мат. заметки. -2000. -T.67, № 2.-C.221-229.

10. Масальцев Л.А. Поверхности с плоскими линиями кривизны в пространстве Лобачевского // Известия вузов,Математика. -2001. -№ 3. -C.39-46.

11. Масальцев Л.А. Тантрисы кривых в пространствах постоянной кривизны и // Мат. физика, анализ, геом. -2002.T.9, № 1. -C.66-78.

12. Масальцев Л.А. Вариант теоремы Ру-Вильмса для поверхностей постоянной средней кривизны в // Мат. заметки. -2003. -T.73, № 1. -C.92-105.

13. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в группе Гейзенберга // Вiсник Харків.нац.унів. Серія "Математика. прикл. матем. -2003. №602. -C.35-45.

14. Масальцев Л.А. Гармонические свойства гауссовых отображений в // Укр. Мат. Журнал. -2003. - T.55, № 4. -C.489-499.

15. Масальцев Л.А. Минимальные линейчатые поверхности в трехмерных геометриях и // Известия вузов,Математика. -2004. № 9. -C.46-52.

16. Масальцев Л.А. Непогружаемость нилмногообразий в виде гиперповерхностей в евклидово пространство // Мат. заметки. -2004. T.76, № 6. -C.868-873.

17. Масальцев Л.А., Петров Е.В. О стабильности минимальных поверхностей в трехмерной группе Гейзенберга // Вiсник Харків.нац.унів. Серія "Математика. прикл. матем. -2004. -№ 645. C.135-141.

18. Масальцев Л.А. Об изометрическом погружении трехмерных геометрий , , в четырехмерное пространство постоянной кривизны // Укр. Мат. Журнал. -2005. T.57, № 3. -C.421-426.

19. Масальцев Л.А. Бикасательное преобразование Бианки подмногообразий постоянной отрицательной кривизны евклидова пространства // Известия вузов, математика. -2005. - № 7. -C.43-48.

20. Борисенко О.А., Ямпольский О.Л., Масальцев Л.О., Лейбіна О.В. Геометрія підмноговидів у рiманових просторах // Фундаментальні орієнтири науки. Математика, інформатика, механіка, фізика та астрономія. Збрник статей за матеріалами проектiв ДФФД. -K.: Академперіодика. 2005. -C.43-57.

21. Masaltsev L.A.. Minimal surfaces in the standard geometry // Journ. Mathem. Physics, Analysis, Geometry -2006.- T.2. № 1. -C.104-110.

Тези доповідей

1. Masaltsev L.A., Mashkov C.Ju. Addition to one theorem of Ch. Delaunay // Сучасні проблеми математики. Материали міжнародної наукової конференції. Частина 2. -Чернівці-Київ:Інст. математики НАН України,1998. -C.115.

2. Masaltsev L.A. Bianchi -Lie-Backlund transformations in threedimensional spaces of constant curvature // 4-th International Congress of Geometry,Thessaloniki. May 26-June 1,1996, Abstracts of contributions. Thessaloniki:Academy of Athens, 1996.-P.86.

3. Масальцев Л.А. Непогружаемость пространства Лобачевского в евклидово в виде минимального подмногообразия с плоской нормальной связностью // Международная геометрическая школа-семинар памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, "Лиманчик", 27 сентября-4 октября 1996, Тезисы докладов. -Ростов-на-Дону:МГУ,РГУ ,1996, - C.54-55.

4. Kaliniuk E.G, Masaltsev L.A. Generatrix of catenary of revolution of hyperbolic space // Міжнародна конференція з геометрії "в цілому", Черкаси, 8-13 вересня 1997, Тези доповідей. -Черкаси:ЧІТІ, 1997. -C.22.

5. Masaltsev L.A. Surfaces with flat lines of curature in threedimensional space forms // 3-я Міжнародна конференція з геометрії "в цілому", Черкаси, 29червня-4 липня 1999, Тези доповідей. -Черкаси:ЧІТІ, 1999. -C.40-41.

6. Masaltsev L.A. On E.Ruh-J.Vilms theorem for surface of constant mean curvature in // Тези доповідей 4-ї Міжнародної конференції з геометрії і топології. -Черкаси: ЧІТІ, 2001, -C.61-62.

7. Masaltsev L.A. Harmonicity of the Hyperbolic Gauss Map for cmc-1 Surfaces in // Second Russian-German Geometry Meeting dedicatid to 90-anniversary of A.D.Alexandrov , Abstracts, St.Peterburg,Russia, June 16-23. St.Petersburg: Petersburg depart. of Steklov Inst. Mathem. 2002. -C.42-43.

8. Масальцев Л.А., Петров Е.В. Минимальные поверхности в группе Гейзенберга // Тези доповідей 5-ї Міжнародної конференції з геометрії і топології пам'яті О.В.Погорелова (1919-2002).-Черкаси: ЧДТУ,2003. -C.79-80.

9. Masaltsev L.A., Petrov E.V. On Stability of Minimal Surfaces in the Heisenberg group // First Karazin scientific Readings dedicated to the bicentenary of the Karazin Kharkiv University, Mathematical Symposium, Kharkiv, June 14-16. Kharkiv: Karazin Kharkiv Nation. Univ., 2004. -P. 26.

10. Масальцев Л.А. Минимальные и вполне геодезические поверхности в геометрии // Тези доповідей 6-ї Міжнародної конференції з геометрії і топології. -Черкаси:ЧДТУ, 2005. -C.47.