Анотація до роботи:

Гаврилик О.М. Представлення і реалізації квантових і класичних груп в квантових системах полів і частинок. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут теоретичної фізики ім. М.М. Боголюбова НАН України, Київ, 2002.

Дисертацію присвячено дослідженню представлень некомпактних груп Лі, квантових алгебр, їх застосувань в фізиці адронів і квантовій гравітації, дослідженню ренормгрупових властивостей нелінійних сигма-моделей на несиметричних однорідних просторах і нових струнних компактифікацій. Вивчено представлення некомпактних груп Лі, пов'язаних з N = 6 супергравітацією. Представлення псевдоунітарних груп застосовано в описі мас адронів, аналізі мас-формул. Введено нові q-деформації алгебр Лі ортогональних і евклідових груп, дано аналіз їх представлень, ролі у квантовій гравітації. Квантові псевдоунітарні групи застосовано у новому підході до ароматових симетрій адронів, отримано нові мезонні і баріонні мас-формули, знайдено топологічний опис кваркових ароматів, зв'язок параметра деформації з кутом Кабібо. Описано нові струнні компактифікації, скейлінгову поведінку штіфелевих нелінійних сигма-моделей.

В роботі одержані нові науково обгрунтовані результати в галузі теоретичної фізики, які в сукупності розв’язують важливу наукову проблему розробки і застосування представлень вищих квантових груп в феноменології адронів і в квантовій гравітації, а також проблему з’ясування особливостей ренормгрупової поведінки нелінійних сигма-моделей на несиметричних однорідних просторах і знаходження реалістичних струнних компактифікацій. Зокрема:

З допомогою коефіцієнтів Клебша-Гордана представлень відповідних груп виведено явні вирази для матричних елементів представлень скінченних перетворень з груп SO(n) і SO₀(n,1), а також груп U(n) і U(n,1); отримано у явному вигляді переплітаючі оператори основної неунітарної серії представлень алгебри Лі групи SO₀(n,1) та алгебри u(n,1); з їх допомогою завершено аналіз нерозкладних, незвідних і унітарних незвідних представлень основної неунітарної серії u(n,1) та запропоновано застосування деяких із цих результатів у фізиці адронів.

Розвинуто послідовний теоретико-груповий підхід, з використанням некомпактних U(n,1)-симетрій у ролі динамічних груп відносно n-ароматових симетрій адронів SU(n), до обчислення мас адронів і аналізу мас-співвідношень. Вперше нерозкладні представ-лення застосовано в феноменології адронів, обчислено маси b-кваркових мезонів і отримано для них нові мас-формули, знайдено n-ароматове узагальнення мезонної мас-формули Гел-Мана і Окубо.

Побудовано інфінітезимальні представлення максимально виродженої серії груп SO*(2n) та груп SU*(2n) (як груп прихованої симетрії для розширеної N = 6 супергравітації), в U(n)-базисі та в Sp(n)-базисі відповідно; знайдено явний вигляд переплітаючих операторів, і з їх допомогою проаналізовано звідні (нерозкладні) та розкласифіковано незвідні і унітарні незвідні представлення цих груп;

Введено новий клас нестандартних (відмінних від квантових алгебр Дрінфельда--Джімбо) q-деформованих алгебр U’_q(so_n), що мають важливі переваги перед стандартними квантовими алгебрами Дрінфельда і Джімбо: вони допускають q-аналоги усіх дійсних форм і усіх канонічних вкладень, властивих відповідним класичним (недеформованим) алгебрам U(so_n).

Знайдено незвідні представлення алгебр U'_q(so₃), U'_q(so₄), а для їх "некомпактних" дійсних форм U'_q(so_2,1), U'_q(so_3,1) знайдено незвідні та *-незвідні представлення, серед яких є т.зв. "дивні серії" представлень, що зникають в класичній границі q1; побудо-вано незвідні представлення класу 1 алгебр U'_q(so_n), дано аналіз звідності і отримано список незвідних та *-незвідних представлень виродженого класу алгебр U'_q(so_n,1), у якому є і представлення дивної серії.

Побудовано загальний клас скінченновимірних представлень нестандартної q-деформації U'_q(so_n) алгебри Лі групи обертань n-вимірного простору, які при q1 містять усі відомі незвідні представлення алгебри Лі so(n); знайдено основні класи нескінченновимірних представлень алгебр U'_q(so_n,1) та, методом контракції, представлень алгебр U'_q(iso_n), які є нестандартними q-деформованими аналогами відповідно алгебр Лі псевдоортогональних груп та алгебр Лі евклідових груп n-вимірних просторів (показово, що в q-евклідових алгебрах генератори трансляцій у різних напрямках не комутують між собою).

Встановлено, що нестандартні q-деформовані алгебри U'_q(so_n) виникають в квантовій (2+1)-вимірній анти-деСіттерівській (з від'ємною космологічною сталою) гравітації на рімановій поверхні роду g>1, причому n=2g+2: це означає, що саме на основі апарату алгебр U'_q(so_2g+2) необхідно будувати алгебри квантових спостережува-них; вказано деякі інші застосування нестандартних q-алгебр U'_q(so_n), U'_q(so_n,1);

Розроблено новий підхід, який у ролі ароматових внутрішніх симетрій адронів та відповідних їм динамічних симетрій використовує квантові (чи q-деформовані) алгебри U_q(su_n) та U_q(u_n,1) і уможливлює обчислення мас адронів (мезонів 1^-, баріонів , ) та отримання q-аналогів мас-співвідношень на основі квантових алгебр.

Для векторних мезонів, які містять важкі кварки, отримано q-аналоги мас-формул і знайдено спосіб жорсткої фіксації значень параметра q через нулі певних поліномів від q, q^-1, що дозволяє отримувати реалістичні правила сум для мас мезонів без введення кутів змішування; показано, що ці q-поліноми, визначальні для векторних кварконіїв , , та мають топологічну інтерпретацію асоціюючи з ними конкретні тороїдальні вузли, і це дає можливість характеризувати різні аромати топологічно - інваріантами відповідних вузлів.

Виведено q-аналог мас-співвідношення для октетних баріонів (12)⁺, розвинуто метод визначальних q-поліномів, на основі якого із різних динамічних представлень отримано цілу серію нових правил сум для мас баріонів (12)⁺, кожне з яких виконується точніше, ніж мас-формула Гел-Мана - Окубо, а оптимальне має точність ~0.07 %; показано, що використання квантових алгебр у ролі алгебр ароматової і динамічної симетрій забезпечує врахування у баріонних масах 'непертурбативних' поправок і внесків у маси ефектів за рахунок істотньо нелінійної - експоненціальної - залежності від порушення звичайної симетрії SU(3).

Виведено q-аналог мас-співвідношення баріонів (32)⁺ з декуплета і доведено його універсальність - незалежність від вибору динамічного представлення; показано, що при застосуванні відомої еніонної реалізації квантових алгебр U_q(su_n) до знаходження мас-співвідношень для баріонів (32)⁺ з SU(3)- декуплета, структурні кварки цих баріонів в даній реалізації можна інтерпретувати як еніони із параметром еніонної статистики рівним n=114.

Знайдено фізичну інтерпретацію q-параметра в розвинутому підході до ароматових симетрій на основі q-алгебр U_q(su_n): параметр деформації q = exp(i q) у випадку баріонів з декуплета чи октета виражено, відповідно, через кут Кабіббо q_C чи його двократну величину, q₁₀ = q_C, q₈ = 2q_C , що для q_C підказує точне значення q_C = p14; висунуто і обгрунтовано ідею, що змішування Кабіббо може походити від некомутативністі додаткових вимірів.

Знайдено явний вигляд ренормгрупових бета-функцій двовимірних сигма-моделей на некомпактних симетричних однорідних просторах SO*(2n)U(n), SU*(2n)Sp(n); прямим обчисленням геометричних характеристик (тензор Річчі) знайдено явний вираз для однопетльової ренормгрупової бета-функції двовимірної нелінійної сигма-моделі на несиметричному однорідному просторі Берже Sp(2)SU(2) і доведено, що їй властива асимптотична свобода.

На основі сигма-модельного опису поширення бозе-струни у фоновій геометрії виділено новий клас струнних компактифікацій простору-часу 26 вимірів в компактні однорідні простори K^d із крученням за схемою M²⁶ M^26-d K^d; з урахуванням вимоги про появу, внаслідок компактифікації, безмасових киральних ферміонів виділено єдиний варіант – компактифікацію з фактор-простором K¹² = [G₂SU(3)] [G₂SU(3)] до 14-вимірного простору Мінковського.

Вирахувано геометричні характеристики (тензор Річчі, згортка тензорів Рімана) однорідних многовидів Штіфеля SO(n)SO(n-k) і на основі цього знайдено бета-функції в одно- і двохпетльовому наближенні та описано ренормгрупову поведінку нелінійних двовимірних штіфелевих сигма-моделей; виявлено квантоводинамічну анізотропію самовзаємодії і показано, що наявність чи відсутність асимптотичної свободи в таких моделях залежить від фіксації початкової метрики.

Виявлено новий тип біфуркацій типу "сідло-вузол" в динамічних системах, асоційованих з квазідвовимірними квантовими штіфелевими сигма-моделями, запро-поновано біфуркаційний механізм дроблення ефективних констант зв'язку і встанов-лено властивість тетракритичності в таких сигма-моделях.

Публікації автора:

1. Гаврилик А.М., Климык А.У. Переплетающие операторы для группы U(n,1) // Укр. Мат. Ж. - 1976. - Т.28. - No.6. - С. 803-807.

2. Гаврилик А.М., Широков В.А. Анализ представлений группы SU(4,1) динамической симметрии адронов и массы очарованных частиц // Ядерная физика. - 1978. - Т.28. - No.1. - С. 199-206.

3. Гаврилик А.М., Клімик А.У. Матричні елементи незвідних зображень груп U(n,1) // ДАН УРСР, сер. фіз. мат. - 1978. - вип.6. -

С. 486-490.

4. Klimyk A.U., Gavrilik A.M. Representation matrix elements and Clebsch-Gordan coefficients of the semisimple Lie groups // J. Math. Phys. - 1979. - V. 20. - No.8. - P. 1624-1642.

5. Гаврилик А.М., Широков В.А. Массы b-кварковых мезонов из динамической псевдоунитарной симметрии // Труды Междунар. Семинара "Теоретико-групповые методы в физике". - Наука, 1980, Т.2. - С. 49-54.

6. Гаврилик А.М., Климык А.У. О представлениях некомпактных глобальных групп симметрии расширенной (N=6) супергравитации // Труды Междунар. Семинара "Теоретико-групповые методы в физике". - Наука, 1983, Т.1. - С. 254-258.

7. Gavrilik A.M. Group-Theoretical Aspects of Generalized Nonlinear Sigma Models //

Proc. Int. Conf. "Nonlinear and Turbulent Processes". - Kiev. - 1983. - P. 183-192.

8. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. Infinitesimal Operators and Structure of the Representations of the Groups SO*(2n) and SO(2n) in an U(n) Basis and of the Groups SU*(2n) and SU(2n) in an Sp(n) Basis // J. Math. Phys. - 1984. - V.25. - No.3. - P. 422-430.

9. Гаврилик А.М. О b-функциях нелинейных s-моделей на некоторых некомпактных симметрических пространствах // Укр. Фіз. Ж. - 1984. - Т.29. - No.11. - С. 1737-1742.

10. Гаврилик А.М. Обобщенные киральные модели: ренормгрупповой и топологический аспекты // Физика Многочастичных Систем. - 1985. - Т.7. - С. 11-20.

11. Гаврилик А.М. О функции Гелл-Манна - Лоу киральной модели на однородном пространстве Берже // Теор. Мат. Физика. - 1985. - Т.65. - No.1. - С. 155-160.

12. Gavrilik A.M. Self-interaction anisotropy of Stiefel systems of goldstonions // Mod. Phys. Lett. A. - 1989. - V.4. - No.18. - P. 1783-1788.

13. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. Indecomposable and irreducible representations of the groups U(n,1) and dynamical symmetry // Symposia Mathematica. - 1989. - V.31. - P. 127-139.

14. Гаврилик А.М. Геометрия в нелинейных квантово-полевых моделях на многообразиях Штифеля и бифуркации ассоциированных автономных систем // Укр. Мат. Ж. - 1991. - Т.43. - No.11. - С. 1527-1537.

15. Гаврилик А.М. Біфуркаційна поведінка штіфелевих нелінійних квантово-польових моделей і дроблення ефективних констант звязку // Укр. Фіз. Ж. - 1991. - Т.36. - No.12. - С. 1801-1807.

16. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. q-Deformed orthogonal and pseudo-orthogonal algebras and their representations // Lett. Math. Phys. - 1991. - V.21. - No.3. - P. 215-220.

17. Gavrilik A.M. The representations of U_q(so_4) and U_q(so_{3,1}) // Теор. Мат. Физика. - 1993. - Т.95. - No.2. - С. 251-257.

18. Gavrilik A.M. Quantum groups, q-deformed meson mass formulas and knot invariants // Proc. Int. Conf. "Physics in Ukraine. Quantum Fields and Elementary Particles" (Kiev, 1993). - P. 38-41.

19. Gavrilik A.M. q-Serre relations in U_q(u_n) and q-deformed meson mass sum rules // J. Phys. A. - 1994. - V.27. - No.3. - P. L91-L94.

20. Gavrilik A.M., Klimyk A.U. Representations of the q-deformed algebras U_q(so_2,1) and U_q(so_3,1) // J. Math. Phys. - 1994. - V.35. - No.7. - P. 3670-3686.

21. Gavrilik A.M., Kachurik I.I., Tertychnyj A.V. Baryon decuplet masses from the viewpoint of q-equidistance // Укр. Фіз. Ж. - 1995. - Т.40. - No.7. - С. 645-649.

22. Gavrilik A.M. Quantum unitary and pseudounitary groups and generalized hadron mass relations // Symmetries in Science VIII (B.Gruber, ed.). - New York: Plenum. - 1995. - P. 109-123.

23. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Multiparameter deformations of gl(n) algebra in terms of anyonic oscillators // J. Nonlin. Math. Phys. - 1996. - V.3. - No.3-4. - P. 426-431.

24. Gavrilik A.M. Quantum groups in hadron phenomenology // Proc. Int. Conf. "Non-Euclidean geometry in modern physics". - Uzhgorod. - 1997. - P. 183-192.

25. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. q-Deformed inhomogeneous algebras U_q(iso_n) and their representations // Proc. Int. Conf. "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" II. - Kiev. - 1997. - V.2. - P. 384-392.

26. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Nonstandard q-deformation of the Euclidean algebras and their representations // Proc. Int. Conf. "Non-Euclidean geometry in modern physics". - Uzhgorod. - 1997. - P. 56-63.

27. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. q-deformed algebras U_q(so_n) and their representations // "Methods of Funct. Anal. and Topology." - 1997. - V.3. - N 4. - P. 51-63.

28. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Representations of the nonstandard algebras U_q(so(n)) and U_q(so(n-1,1)) in Gel'fand--Tsetlin basis // Укр. Фіз. Ж. - 1998. - Т.43. - No.7. - С. 791-797.

29. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Quantum groups as flavor symmetries: account of nonpolynomial SU(3)-breaking effects in baryon masses // Укр. Фіз. Ж. - 1998. - Т.43. - No.12. - С. 1526-1533.

30. Gavrilik A.M. The use of quantum algebras in quantum gravity // Proc. of III Int. Conference "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Kiev, July 1999). - P. 310-314.

31. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. On the Casimir elements of q-algebras U'_q(so_n) and their eigenvalues in representations // Proc. of III Int. Conference "Symmetry in Nonlin. Mathem. Physics" (Kiev, July 1999). - P. 304-309.

32. Gavrilik A.M. Coset-space string compactification leading to 14 subcritical dimensions // Heavy Ion Physics. - 2000. - V.11. - No.1-2. - P. 35-41.

33. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Higher Casimir operators of the nonstabdard q-deformed algebras U'_q(so_n) and their eigenvalues // Heavy Ion Physics. - 2000. - V.11. - No.1-2. - P. 29-34.

34. Gavrilik A.M., Iorgov N.Z. Masses of decuplet baryons treated within anyonic

realization of the q-algebras U_q(su(n)) // Укр. Фіз. Ж. - 2000. - Т.45. - No.7. - С. 789-794.

35. Gavrilik A.M. Can the Cabibbo mixing originate from noncommutative extra dimensions? // NATO Science Series V.22 "Noncommutative structures in mathematics and physics". - Kluwer, Dordrecht. - 2001. - P. 343-355.

36. Gavrilik A.M. Quantum algebras in phenomenological description of particle properties // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. - 2001. - V.102. - P. 298-305.

37. Gavrilik A.M. Applying the q-algebras U'_q(so_n) to quantum gravity: towards q-deformed analog of SO(n) spin networks // Укр. Фіз. Ж. - 2002. - Т.47, No 3. - P. 213-218.